Pembelajaran Statistika

STATISTIKA

unduh bahan ajar

PENGERTIAN ISTILAH-ISTILAH

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mendeskripsikan, menganalisis dan menginterpretasi data. Secara garis besar statistika dapat dikategorikan dalam 2 bidang :

·         Statistika deskriptif : cara mengumpulkan, menyajikan dan menyederhanakan data sehingga makna dari data tersebut menjadi mudah dimengerti

·         Statistika Inferensia : melakukan analisis data sampai pada tahap kesimpulan

Populasi         : kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti

Sampel           : himpunan bagian dari suatu populasi atau sebagian dari seluruh   objek yang akan diteliti

Contoh :

1.    Untuk mengetahui berat badan siswa SMA kelas XI di Lebak

Populasinya : Seluruh siswa SMA kelas XI di Lebak

Sampelnya: Beberapa ratus siswa SMA kelas XI di Lebak 

2.    Untuk mengetahui penghasilan penduduk di Rangkasbitung

Populasinya: Seluruh penduduk Rangkasbitung

Sampelnya: Beberapa ratus penduduk Rangkasbitung

Parameter      : ciri khas (karakteristik) populasi

Statistik          : ciri khas (karakteristik) sampel. Statistik dapat juga dikatakan sebagai   penduga dari parameter

PENYAJIAN DATA

  

1.    Tabel Distribusi Frekuensi

a.    Data Tunggal

Contoh:

Hasil lemparan bola yang masuk ke ring basket dari 15 kali lemparan disajikan dalam tabel berikut

Banyaknya Bola yang Masuk	Turus	Frekuensi
7	IIII	5
8	IIII  III	8
9	IIII  IIII  IIII	15
10	IIII  IIII	10
11	II	2
Jumlah		40

b.    Data Kelompok

Contoh:

Diberikan data nilai ulangan matematika kelas VI dari 40 siswa tahun 2000 yang disajikan dalam tabel berikut

Kelas	fi
26 – 40	2
41 – 55	10
56 – 70	15
71 – 85	9
86 – 100	4
Jumlah	40

2.    Diagram Batang dan Garis

Pada diagram batang, data disajikan dengan batang-batang yang dilengkapi dengan kata dan skala yang jelas sehingga dapat dengan mudah membaca maksud dari diagram yang disajikan. Sedangkan digram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan peristiwa yang mengalami perubahan yang terus menerus.

Contoh:

Data berikut menunjukkan jumlah orang dalam jutaan dengan agama yang berbeda di suatu Negara. 317 juta orang beragama Kristen, 269 orang beragama Islam, 68 0rang beragama Budha,dan 8 oarang beragama Hindu. 

 3.    Diagram Lingkaran

Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran dilakukan dengan cara membagi daerah lingkaran menjadi beberapa juring lingkaran sesuai dengan perbandingan setiap data

  

4.    Histogram dan Poligon

Histogram tersusun dari persegi panjang-persegi panjang yang saling berimpit, sedangkan poligon terbentuk dari titik-titik tengah pada sisi atas setiap histogram.

UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan merupakan suatu gambaran (informasi) yang memberikan penjelasan bahwa data memiliki satu (mungkin lebih) titik dimana dia memusat atau terkumpul.  Ukuran-ukuran pemusatan yang sering digunakan antara lain : median, kuartil, modus dan mean (nilai rataan).

1. Median

Median adalah suatu nilai data yang membagi dua sama banyak kumpulan data yang telah diurutkan.  Apabila banyaknya data ganjil, median adalah data yang tepat ditengah-tengah, sedangkan bila banyaknya data genap, median adalah rata-rata dua data yang ada ditengah.

2.   Modus

Suatu nilai data yang paling sering terjadi atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi disebut modus. Suatu kumpulan data mungkin saja mempunyai modus lebih dari satu buah.  Jika dalam suatu data terdapat tiga nilai pengamatan yang memiliki frekuensi pemunculan tertinggi maka modusnya adalah ketiga nilai pengamatan tersebut dan bukan rata-rata dari ketiganya.

3.   Kuartil adalah nilai-nilai yang menyekat gugus data menjadi empat kelompok data yang masing-masing terdiri dari 25% amatan.  Nilai-nilai yang menyekat data menjadi empat kelompok data tersebut dikenal dengan sebutan kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil 3 (K3).

     

4. Nilai tengah (rataan).  Nilai tengah merupakan ukuran pemusatan data yang menimbang data menjadi dua kelompok data yang memiliki massa yang sama.  Dengan kata lain nilai tengah merupakan titik keseimbangan massa dari segugus data.  Apabila x₁, x₂, ...,x_n adalah hasil amatan dari suatu sampel, maka nilai tengahnya :

  ;

Keterangan : f_i = frekuensi untuk nilai data i  ; ∑f_i = n =  banyaknya data yang diamati

Contoh:

Diketahu 13 buah amatan sebagai berikut : 3, 5, 5, 5, 6, 8, 4, 5, 8, 11, 12, 5, 16 maka nilai tengahnya adalah :

UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dalam kumpulannya.  Dengan ukuran penyebaran kita dapat melihat seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya. Ukuran penyebaran yang sering digunakan antara lain :

1.   Wilayah (Range). Ukuran penyebaran data yang paling sederhana adalah mencari selisih pengamatan terkecil dengan pengamatan terbesar.

R = x_max-x_min

Ukuran ini cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai pengamatannya menyebar merata.  Tetapi ukuran ini akan menjadi tidak relevan jika nilai pengamatan maksimum dan minimum merupakan data-data ekstrem.

Contoh:

Perhatikan nilai pengamatan berikut: 3, 10, 5, 6, 8, 4, 5, 8, 11, 12, 5, 16 maka wilayahnya dapat dihitung sebagai berikut: R =16-3=13.

2.   Jangkauan antar Kuartil/Hamparan (Inter Quartil Range). Jangkauan antar kuartil mengukur penyebaran 50% data ditengah-tengah setelah data diurut. Ukuran penyebaran ini merupakan ukuran penyebaran data yang terpangkas 25% yaitu dengan membuang 25% data yang terbesar dan 25% data terkecil.  Ukuran ini sangat baik digunakan jika data yang dikumpulkan banyak mengandung data pencilan.  Jangkaun antar kuartil dihitung dari selisih antara kuartil 3 (K₃) dengan kuartil 1 (K₁), atau dapat dirumuskan sebagai berikut: 

JAK  =  K₃ -K₁

Contoh:

Perhatikan nilai pengamatan berikut: 3, 10, 5, 6, 8, 4, 5, 8, berdasarkan metode belah dua diperoleh nilai kuartil berturut-turut sebagai berikut:

K₁=4.5, K₂=5.5, K₃=8.  Dengan demikian jarak antar kuartil diperoleh, JAK=8-4.5=3.5.

3.   Ragam (Variance).  Ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah ragam.  Ragam merupakan ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat (rataan).  Apabila x₁, x₂, ...,x_n adalah nilai amatan dari suatu sample, maka ragamnya adalah:

Akar dari ragam sampel dikenal dengan simpangan baku (standar deviation) yang dinotasikan dengan s

Contoh:

Kita akan menentukan ragam dan standar deviasi dari data 30, 50, 70 dan 80!

Untuk memudahkan kita buat tabel berikut:

X	20	30	50	70	80	SX = 250
X²	400	900	2500	4900	6400	SX² = 15100

C.   RANGKUMAN

• Berdasarkan penjelasan di atas dapat disajikan rangkuman sebagai berikut:
• Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mendeskripsikan, menganalisis dan menginterpretasi data.
• Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti

·         Sampel adalah himpunan bagian dari suatu populasi atau sebagian dari seluruh objek yang akan diteliti

• Data statistika dapat disajikan dalam berbagai cara antara lain menggunakan Tabel Distribusi Frekuensi, Diagram Batang dan Garis, Diagram Lingkaran, histogram dan poligon.
• Ukuran-ukuran pemusatan terdiri dari median, kuartil, modus dan mean (nilai rataan).
• Ukuran-ukuran penyebaran terdiri dari Range, jangkauan antar kuartil, dan ragam

D.   LATIHAN SOAL

1.    Berikut ini diberikan data mengenai nilai ujian statistika dasar untuk 80 siswa sebagai berikut:

Nilai	Frekuensi (fi)
40	2
47	3
55	5
65	14
70	24
81	20
95	12
Jumlah	80

      Hitunglah:

a.    Mean

b.    Median

c.    Modus

d.    Kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas

2. Pada suatu pengumpulan data dengan menarik sampel dari suatu populasi didapat data: 12   25   42   7   31   28   15   30  21   25   35   17  29   40   32  

            Dari data tersebut

            Hitunglah:

a.    Kuartil 1 (kuartil bawah) dan kuartil 3 (kuartil atas)

b.    Median

c.    Mean

d.    Modus

e.    Range (R)

f.     Interquartil range (JAK)

g.    Varian (ragam), dan simpangan baku.

3.  Nilai ulangan bahasa inggris dari 40 orang siswa kelas II SMP adalah sebagai berikut:

      6          9         3          4          5          5          7          6          4          8

6          7         8          6          8          9          7          5          5          4         

5          8         4          6          8          7          7          7          6          7

4          9         8          5          3          6          7          7          3          6

Hitunglah:

a.    Rata-rata

b.    Range

c.    Kuartil bawah dan kuartil atas

d.    Jangkauan antar kuartil

e.    Ragam

4.    Hasil ulangan matematika dari 50 orang murid adalah :

42          57      62        34        23        75        81        54        91        85

21          34      51        37        66        72        43        82        77        87

32          43      56        72        73        45        34        21        62        94

72          34      75        48        83        85        84        94        93        71

83          81      62        87        76        74        71        24        29        30

Hitunglah:

a.    Rata-rata

b.    Range

c.    Ragam

d.    Simpangan baku

E.    KUNCI JAWABAN

1.    a. mean = 73,1           

b. median = 70                       

c. Modus = 70            

d. K1= 65  K2= 70  K3 = 81

2.    a. K1 = 17, K3 = 32

b. Median = 28

c. Mean = 25,9

d. Modus = 25

e. Range (R) = 35

f. JAK = 15

g. Varian = 100,6 dan Simpangan baku = 10,03                   

3.   a. Rata-rata = 6,1

      b. Range = 6

      c. K1 = 5 dan K3 = 7

      d. JAK = 2

      e. Ragam = 2,88

4.   a. Rata-rata=61,24

      b. Range=73

      c. Ragam=511,7

      d. Simpangan baku=22,62